De expansie van het heelal volgens Friedmann

Door Frans Nieuwenhout, 16-6-1997
(eerste blz. aangepast: 13-10-1997)

HTML conversie:  Gerard Hoogeland 1998

In het kader van de werkgroep Theoretische Sterrenkunde van de afdeling Alkmaar van de KNVWS zijn wat kernbegrippen van de kosmologie op papier gezet. Naar aanleiding van een recent artikel in Zenit is tevens een eenvoudig computermodel gemaakt om de expansie van het heelal aanschouwelijk te maken.

Als inleiding op het expansie model worden in de eerste twee paragrafen een aantal belangrijke begrippen uit de kosmologie gedefinieerd. De belangrijkste hiervan zijn de Hubble constante, de roodverschuiving en de schaalfactor. Vervolgens wordt via de wet van behoud van energie de basis vergelijking voor een eenvoudig model van het expanderende heelal aannemelijk gemaakt. Binnen dit Friedmann model speelt de zogenaamde 'kosmologische constante' een belangrijke rol. Hoe deze kosmologische constante de leeftijd van het heelal beïnvloedt wordt in paragraaf 5 verduidelijkt.

1. Roodverschuiving en Hubble constante

De roodverschuiving tussen de golflengte tijdens emissie l e en de waargenomen golflengte l w wordt uitgedrukt als het golflengte verschil gedeeld door de oorspronkelijke golflengte:

z = (l w - l e)/ l e » V / C (1)

Er wordt een lineair verband waargenomen tussen de afstand D en de roodverschuiving:

V = H0 * D (2)

Hierbij is H0 de Hubble constante. Het sub-script0 duidt hierbij op de huidige waarde van de Hubble constante Waargenomen: H » 65 km/s per Mpc.

De met de tijd toenemende afstand D(t) tussen twee punten in het heelal kan gedefinieerd worden als het product van een constante afstand A in meebewegende coördinaten en een schaalfactor R(t):

D(t) = A * R(t) (3)

Op dit moment bedraagt de afstand D0 en leeftijd van het heelal t0. De afstand bedraagt nu:

D0 = A * R(t0) = A * R0 (4)

Op andere tijdstippen wordt de afstand als volgt weergegeven:

D(t) = D0 * (R(t)/R0) (5)

De grootheid (R(t)/R0) is bruikbaarder als maat voor de schaal van het heelal dan R(t) alleen, omdat de breuk dimensieloos is en gelijk aan 1 voor de huidige tijd.

Snelheid is per definitie de tijdsafgeleide van de afstand:

V(t) = dD(t)/dt (6)

= (D0/R0) * (dR(t)/dt) (7)

= D0 * (R(t)/R0) * (R(t)-1 * dR(t)/dt) (8)

= D(t) * H(t) (9)

Met de Hubble parameter H:

H(t) = R(t)-1 * dR(t)/dt (10)

Hierbij is goed te zien dat de Hubble parameter H(t) niet constant in de tijd is.

2. Schaalfactor en roodverschuiving

Tussen emissie en ontvangst van straling legt een foton een afstand D = c D t af. Tussen het tijdstip van emissie en ontvangst verandert de golflengte van l (t) naar l (t + D t). Voor de roodverschuiving z geldt dan:

z = {l (t + D t) - l (t)}/ l (t) » V/C = H * D/C = H D t (11)

Gebruik: l (t + D t) » l (t) + D t * dl /dt:

z » l -1 dl /dt * D t = H(t) * D t = R(t)-1 dR/dt * D t (12)

De golflengte is dus recht evenredig met de schaalfactor:

l (t) = l e * R(t)/Re (13)

Het grote verschil met het klassieke doppler effect is dat de golflengte van het licht voortdurend blijft veranderen na emissie!

3. Dynamica: het Friedmann model

Hoe verandert de schaalfactor R(t) met de tijd? De hier volgende klassieke, dwz. niet-algemeen relativistische afleiding wordt aangenomen dat het heelal homogeen is met een massadichtheid r . Verder is aangenomen dat de bijdrage van de (gas)druk verwaarloosbaar is. Uitgangspunt bij het aanschouwelijk maken van het dynamisch gedrag van het heelal is het energiebehoud. Kies nu een willekeurige bol met straal r(t) = A * R(t). Voor een sterrenstelsel met massa m op de rand van de bol geldt dat de som van de kinetische en de gravitationele potentiële energie constant is:

½ m V2 - G M m / r = E (14)

Invullen van de Hubble relatie V = H * r en de massa van de bol M = 4/3 p r3 r :

½ m H2 r2 - 4/3 G p r2 r m = E (15)

Invullen van r = r0 R(t)/R0 en delen door ½ m r2 levert:

H2(t) = 8 p G r (t)/3 + 2 E R20/(m r20 R2(t)) (16)

Oftewel:

H2(t) = 8 p G r (t)/3 - k / R2(t) met k = - 2 E R20 /(m r20) (17)

Dit is de bekende Einstein vergelijking van het Friedmann model. 'k' is hierbij een constante welke overeen komt met de gemiddelde energie per deeltje. De evolutie van het heelal hangt af van de totale energie E:

E > 0 en k < 0: open heelal, blijft expanderen

E = 0 en k = 0: vlak heelal, expansie komt tot stilstand als t --> ¥

E < 0 en k > 0: gesloten heelal, expansie wordt gevolgd door contractie.

Een vlak heelal is alleen mogelijk bij een bepaalde waarde van de dichtheid, de zogenaamde kritische dichtheid die volgt door in (17) k = 0 in te vullen:

r c = 3 H2 / 8 p G (18)

Met een Hubble constante van 75 km/s per Mpc is de kritische dichtheid ongeveer 10-29 gram per kubieke centimeter.

4. De kosmologische constante

De oplossingen van het Friedmann model zijn dynamisch: altijddurende expansie of expansie gevolgd door contractie. Echter de expansie van het heelal werd pas tien jaar later door Hubble gevonden. Toen Friedmann zijn oplossingen openbaar maakte reageerde Einstein met het invoeren van de kosmologische constante L . Deze compenseert precies de werking van de zwaartekracht en leidt tot een statisch heelal. Nadat uit de roodverschuiving van veraf gelegen melkwegstelsels was geconcludeerd dat het heelal als geheel expandeert viel het gebruik van de kosmologische constante in ongenade. De laatste tijd is er sprake van een 'revival'. Allereerst is er een fysisch verschijnsel, de zogenaamde vacuumfluctuties, welke een onderbouwing van een constante term in de Einstein vergelijking aannemelijk maken. Ten tweede kan invoering van een kosmologische constante het zogenaamde leeftijdsprobleem omzeilen. Eenvoudige heelalmodellen zonder kosmologische constante voorspellen namelijk een leeftijd van het heelal van ongeveer 10 miljard, wat veel lager is dan de leeftijd van de oudste sterren, welke op ongeveer 15 miljard jaar wordt geraamd.

Vacuümfluctuaties is het quantummechanische verschijnsel dat in 'lege' ruimte voortdurend paren van deeltjes met bijbehorende antideeltjes worden gevormd, welke na korte tijd elkaar weer vernietigen, waarbij de 'geleende' energie weer vrijkomt. Als gevolg hiervan heeft ook 'lege' ruimte een bepaalde minimum energie inhoud. Deze vacuum-energie is een eigenschap van de ruimte, welke niet beïnvloed wordt door de globale expansie. De totale dichtheid r (t) in de Einstein vergelijking (17) is samengesteld uit twee termen. Allereerst een term ten gevolge van de gewone materie, waarvan de dichtheid afneemt, omgekeerd evenredig met het volume:

r m(t) = r 0 * R03 / R3(t) (19)

Hierbij is r 0 de huidige dichtheid van het heelal. Hierbij is aangenomen dat het heelal nu door materie gedomineerd is. In het hele vroege heelal leverde straling de belangrijkste bijdrage aan de dichtheid. In het door straling gedomineerde heelal neemt de energie-dichtheid af met de vierde macht van de schaalfactor. De afname van de fotonenergie omgekeerd evenredig met de toename van de schaalfactor (13). Opgeteld bij de derde macht vanwege de expansie levert dat een vierde macht op. Vanaf ongeveer 100,000 jaar na de oerknal levert materie de grootste bijdrage aan de energie-dichtheid.

De tweede term is de constante dichtheid t.g.v. van de vacuümfluctuaties: r vac . De kosmologische constante is per definitie een veelvoud van deze vacuümenergie:

L = 8 p G r vac (20)

Invullen van r (t) = r m(t) + r vac in de Einstein vergelijking (17) levert:

H2(R) = 8 p G r m(R)/3 + 8 p G r vac /3 - k/R2 (21)

Links en rechts van het = teken delen door H2 en substitutie van de kritische dichtheid r c = 3 H2 / 8 p G (18) levert een verband tussen de twee dichtheidstermen en Friedmann constante k:

1 = r m / r c + r vac / r c - k / (R2 H2) (22)

Dichtheden uitgedrukt in verhouding tot de kritische dichtheid worden weergegeven met de parameter Omega:

W m = r m / r c

en :

W L = r vac / r c

Beide Omega-dichtheidsparameters variëren met de schaalfactor. De constante k kan uitgedrukt worden in de huidige waardes van de Omega-parameters:

.k = H02 R02 (W m0 + W L 0 - 1 ) (23)

Hierbij geeft het sub-script0 aan dat het om de huidige waarde van de variabelen gaat.

Door invullen van (10), (19) en (23) in de Einstein vergelijking (21) maakt het mogelijk deze laatste te formuleren als een differentiaal-vergelijking voor de schaalfactor, zonder een expliciete Friedmann constante 'k':

.dR/dt = H0 q [ W m0 R03/R + W L 0 R2 - (W m0 + W L 0 - 1) R02 ] (24)

Deze differentiaal-vergelijking kan opgelost worden door stapsgewijs te benaderen vanaf de beginvoorwaarde:

R = R0.

5. Oplossingen van het Friedmann model

Vaak wordt aangenomen dat het heelal vlak is, d.w.z k = 0. Hierdoor is de som van beide Omega-dichtheidsparameters precies gelijk aan 1. In figuur 1 is met de rode curve aangegeven hoe de schaalfactor met de tijd toeneemt in een vlak heelal zonder kosmologische constante. Bij een waarde van de Hubble constante H0 van 65 km/s per Mpc bedraagt de leeftijd van het heelal slechts 10.1 miljard jaar. Met de blauwe lijn is de huidige expansie snelheid aangegeven. Als er geen vertraging zou optreden door de zwaartekracht zou deze lijn het verloop van de expansie tonen. Bij de Hubble tijd, 15.0 miljard jaar geleden zou in dat geval de oerknal hebben plaats gevonden. Een meer realistisch model is beschreven met de groene kromme. Hierbij is aangenomen dat de huidige materie dichtheid 10% van de kritische dichtheid bedraagt en dat de bijdrage van de kosmologische constante zodanig is dat het heelal vlak is (oftewel W L 0 = 0.9). Als gevolg hiervan stijgt de leeftijd van het heelal tot een niveau van 19.2 miljard jaar.
 
 

Figuur 1. Schaalfactor als functie van de tijd voor lineaire expansie (blauw), een vlak heelal zonder kosmologische constante (rood) en een vlak heelal waarin de huidige materie dichtheid 10% van de kritische dichtheid bedraagt (groen).

De leeftijd van het heelal blijkt sterk af te hangen van de gekozen waarden van Omega, zoals te zien is in figuur 2. Bij de laagst mogelijke materiedichtheid van 1% hoort een leeftijd van ruim 30 miljard jaar.

Figuur 2. Schaalfactor als functie van de tijd voor lineaire expansie (blauw), voor een vlak heelal zonder kosmologische constante (rood) en een vlak heelal waarin de huidige materie dichtheid 1% van de kritische dichtheid is (groen).

Bij een vlak heelal zonder kosmologische constante is de materie dichtheid net niet groot genoeg om de expansie te stoppen. Deze gaat oneindig lang door, maar steeds trager. Voor een gesloten heelal is het een noodzakelijke voorwaarde dat de som van de twee Omega termen groter is dan 1. Zonder kosmologische constante is deze voorwaarde voldoende: de expansie vertraagt en gaat uiteindelijk over in contractie zoals te zien is in figuur 3. Voor de huidige materie dichtheid is hier als voorbeeld twee maal de kritische dichtheid aangenomen. Zonder kosmologische constante levert dat een leeftijd van het heelal op van slechts 8,6 miljard jaar. Invoeren van een kosmologische constante kan ook hier de leeftijd van het heelal enigszins verhogen Echter, reeds voor geringe waarden voor Omega lambda wordt het heelal open. Dit is geïllustreerd in figuur 4. Hier is dezelfde huidige materie dichtheid van twee maal de kritische dichtheid aangenomen, maar nu met een huidige Omega lambda van 0,1. De leeftijd neemt slechts marginaal toe tot 8,7 miljard jaar.

Op basis van het eenvoudige Friedmann model kan geconcludeerd worden dat een oscillerend heelal vrij onwaarschijnlijk is, en dat invoering van een kosmologische constante een mogelijke oplossing biedt voor het leeftijdsprobleem van het heelal. Echter, het hierboven beschreven Friedmann model geeft een vereenvoudigd beeld van de expansie van het heelal, en het is daardoor niet ondenkbaar dat een beter gefundeerde beschrijving tot ander conclusies leidt.

Figuur 3. Schaalfactor als functie van de tijd voor een gesloten heelal. Voor de huidige materie dichtheid is twee maal de kritische dichtheid gekozen, zonder kosmologische constante (groene kromme).

Figuur 4. Schaalfactor als functie van de tijd als in figuur 3, maar met een kosmologische constante met een huidige waarde van Omega lambda van 0,1.